「核心」は「かくしん」と読みます。このブログおなじみの「デジタル大辞泉（小学館）」では、「核心」は「物事の中心となる大切なところ。中核。」などと解説されています。
政府提供の「e-GOV法令検索」で「核心」を調べると、2件ヒットしました。件数が少ないので、2件とも見てみましょう。
○自衛隊法施行規則（昭和29年総理府令第40号）
（幹部自衛官の服務の宣誓）
第42条 幹部自衛官に昇任した者は、次の宣誓文を記載した宣誓書に署名して服務の宣誓を行わなければならない。
宣誓
私は、幹部自衛官に任命されたことを光栄とし、重責を自覚し、幹部自衛官たるの徳操のかん養と技能の修練に努め、率先垂範職務の遂行にあたり、もって部隊団結の核心となることを誓います。
2 （略）
○犯罪捜査規範（昭和32年国家公安委員会規則第2号）
（弁解録取上の注意）
第134条 被疑者の弁解を録取するに当って、その供述が犯罪事実の核心に触れる等弁解の範囲外にわたると認められるときは、弁解録取書に記載することなく、被疑者供述調書を作成しなければならない。
1つ目は、幹部自衛官に昇任した者が行う服務の宣誓です。ここでの「核心」は、「中核」に置き換えても大意は変わらないと思います。「e-GOV法令検索」で検索すると、「中核となる」は10件ヒットしましたので、数の上では「中核」のほうが多数派です。ここからは推測ですが、「中核」だとどうも事務的な感じなので「心」を込めて「核心」にしよう…となったような気がします。
2つ目は、「核心に触れる」ですが、これを「中核に触れる」とか「中心に触れる」としてしまうと、しっくり来ないような気がします。
準2級～2級の用例をもっと見るにはこちら。
